5 Steady Electric Currents

字数 9,388｜阅读时间 19 分钟｜Ayaskt

2026/05/11 10:05:08 CST

先生せんせい、人生相談じんせいそうだんです。

老师，我想谈谈人生。

この先さきどうなら楽らくですか？

在这之后怎样才能感到轻松呢？

そんなの誰だれもわかりはしないよなんて言いわれますか。

会被说那种事情谁也不知道之类的吗？

「ヒッチコック」

ヨルシカ

章节目录

• 章节目录
• 5-1 引言 Introduction
• 5-2 电流密度与欧姆定律 Current Density & Ohm's Law
  • 5-2-1 电流与电流密度
  • 5-2-2 传导电流与欧姆定律
  • 5-2-3 运流电流
• 5-3 电动势与 KVL Electromotive Force & KVL
• 5-4 连续性方程与 KCL Equation of Continuity & KCL
  • 5-4-1 电荷守恒与连续性方程
  • 5-4-2 稳恒电流场
• 5-5 功率损耗与焦耳定律 Power Dissipation & Joule's Law
• 5-6 电流密度的边界条件 Boundary Conditions for Current Density
  • 5-6-1 基本方程
  • 5-6-2 一般边界条件
  • 5-6-3 电流线折射关系
  • 5-6-4 稳恒电流场与静电场的对应
• 5-7 电阻计算 Resistance Calculations
  • 5-7-1 电导与电阻
  • 5-7-2 求解方法
  • 5-7-3 典型例题
• 5-8 总结

5-1 引言 Introduction

DEFINITION

稳恒电流场 Steady Electric Current Field 讨论的是自由电荷持续定向运动时产生的电场与电流分布。

这类问题的关键句其实就是：

在导电介质中存在电场，才会形成稳恒电流。

常见电流可以分为：

电流类型	英文	说明
电解电流	Electrolytic Current	正负离子在电解质中的迁移形成电流
运流电流	Convection Current	电子或离子在真空、稀薄气体中的整体运动形成电流
传导电流	Conduction Current	导体或半导体中自由电子、空穴等载流子的漂移运动形成电流

本章主要讨论的是传导电流。

NOTE

稳恒电流场并不等于静电场。

静电场强调电荷静止，导体内部最终有 ；
稳恒电流场中载流子持续运动，有限电导率导体内部一般有

5-2 电流密度与欧姆定律 Current Density & Ohm's Law

5-2-1 电流与电流密度

1. 电流 Electric Current

DEFINITION

电流强度 Electric Current Intensity，简称电流 Electric Current，定义为单位时间内通过某一截面的电荷量，记作 ：

其中 为安培 Ampere。

2. 电流密度 Current Density

DEFINITION

电流密度 Current Density 记作 ，是一个矢量：

• 方向：规定为正电荷运动方向；
• 大小：单位垂直截面积上通过的电流。

设有一个有向面积元

则穿过该面积元的微元电流为

穿过整个曲面 的电流为

也就是说，电流就是电流密度通过曲面的通量。

TIP

这个式子和电通量

形式完全一样。区别只在于这里通过曲面的是 ，得到的是电流 。

5-2-2 传导电流与欧姆定律

DEFINITION

在大多数导电介质中，某点的传导电流密度 与该点的电场强度 成正比：

其中 称为电导率 Conductivity，单位为

电导率越大，介质的导电能力越强。

上式是欧姆定律的微分形式。电路中熟悉的

则是欧姆定律的整体形式。

几种介质的电导率

介质	电导率	介质	电导率
Silver		Sea water
Copper		Pure water
Gold		Dry soil
Aluminum		Transformer oil
Brass		Glass
Iron		Rubber

理想导体与理想介质

DEFINITION

类型	条件	性质
理想导体 / 完美电导体 Perfect Electric Conductor		稳恒情况下内部不能存在有限电场，否则会产生无穷大电流
理想电介质 / 绝缘体 Perfect Dielectric		不产生传导电流

CAUTION

自然界中不存在真正的 或 的材料，它们只是理想模型。

对于有限电导率的普通导体，若存在稳恒电流，则内部一般满足

所以导体内部可以有非零电场。

5-2-3 运流电流

运流电流 Convection Current 不一定满足 。

如果空间中电荷密度为 ，这些电荷整体以速度 运动，则电流密度为

运流电流的方向由电荷运动决定，不一定与电场方向相同。

NOTE

和介质的极化性质类似，导电性质也可以分为均匀 / 非均匀、线性 / 非线性、各向同性 / 各向异性。
本章中的

默认适用于线性各向同性导电介质。

5-3 电动势与 KVL Electromotive Force & KVL

在电源外部的导电区域中，维持稳恒电流的电场仍然可以看作保守场，因此满足

结合欧姆定律

可得

若导电介质均匀，即 为常数，则有

由 Stokes 定理可得其微分形式：

在均匀导电介质中进一步化为

IMPORTANT

对均匀导电介质中的稳恒电流场：

即稳恒电流密度场是无旋场 Irrotational Field。

KVL Kirchhoff's Voltage Law 本质上就是上述环路积分为零在电路中的表述：沿闭合回路一周，各段电压的代数和为零。

5-4 连续性方程与 KCL Equation of Continuity & KCL

5-4-1 电荷守恒与连续性方程

电荷守恒是电磁学的基本假设之一：

电荷不会凭空产生，也不会凭空消失。

设闭合曲面 包围体积 ，体积内部总电荷为

若有净电流从闭合曲面向外流出，则体积内部电荷减少，因此

若积分区域固定，则

由散度定理

因此得到

因为体积 任意，所以有

DEFINITION

连续性方程 Equation of Continuity 是电荷守恒的微分形式：

5-4-2 稳恒电流场

对于稳恒电流场，电荷分布不随时间变化：

所以连续性方程化为

其积分形式为

这说明：对于任意闭合曲面，流出的总电流等于流入的总电流。

如果用电流线 Electric Current Lines 描述电流密度场，则电流线处处与 相切。

稳恒电流场满足

所以电流线没有起点也没有终点，只能形成闭合结构，或从一个电极进入再从另一个电极流出。

电路中的 KCL Kirchhoff's Current Law 即为

它来自稳恒电流场的积分形式：

TIP

KCL 不是一个孤立的电路规则。
它本质上是

在电路节点附近取一个很小闭合曲面后的结果。

5-5 功率损耗与焦耳定律 Power Dissipation & Joule's Law

电场推动电荷运动时会做功。设电荷 以漂移速度 运动，则单位时间内电场对该电荷做功为

对体积元 中所有载流子求和，可得

括号中的量正是电流密度 ，因此

于是单位体积内的功率损耗为

DEFINITION

焦耳损耗功率密度 Power Dissipation Density 定义为单位体积内电场对载流子做功的功率：

这就是焦耳定律 Joule's Law 的局部形式。

在线性各向同性导电介质中，由

可得

也可写成

对于体积 中的总功率损耗：

若导体截面恒定，电流沿导体方向流动，则

再结合

得到熟悉的电路形式：

5-6 电流密度的边界条件 Boundary Conditions for Current Density

5-6-1 基本方程

稳恒电流场的基本方程为

对应积分形式为

本构关系为

如果引入电势 ，仍有

因此

在均匀介质中，由 可得

若 为常数，则

NOTE

这就是稳恒电流场问题和静电场无源区问题高度相似的原因：
它们都可以落到拉普拉斯方程上。

5-6-2 一般边界条件

考虑两种导电介质的分界面，法向单位矢量为 ，从介质 2 指向介质 1。

由

可得电流密度法向分量连续：

即

由

可得电场切向分量连续：

即

同时，电位移矢量仍满足静电边界条件：

整理为：

IMPORTANT

稳恒电流场在两导电介质分界面上满足

若还讨论界面自由电荷，则

写成电势形式，由 和 得

CAUTION

上式中法向导数的符号依赖于法向量取向。实际计算时要先固定同一个 ，再写 。

5-6-3 电流线折射关系

设两侧电场与法线的夹角分别为 ，则

由于

且

所以

这称为电流线在导电介质分界面上的折射关系。

TIP

和静电场介质分界面的折射关系对比：

稳恒电流场中只需要把 换成 。

5-6-4 稳恒电流场与静电场的对应

稳恒电流场和静电场的形式对应如下：

项目	静电场无源区	稳恒电流场
基本方程
本构关系
电势函数
边界条件
电势边界

对应物理量为：

静电场
稳恒电流场

因此对于几何结构相同、介质均匀的对应问题，有

DEFINITION

静电比拟法 Electrostatic Simulation Method 是指利用稳恒电流场与静电场在方程形式上的对应关系，将已知电容问题转化为电导问题：

5-7 电阻计算 Resistance Calculations

5-7-1 电导与电阻

DEFINITION

电导 Conductance 定义为

电阻 Resistance 定义为

5-7-2 求解方法

方法一：先设电流，再求电压

1. 假设两电极之间的电流为 ；
2. 由

求出 ；

1. 由

求两电极电压；

1. 最后用

求电导。

方法二：先设电压，再求电流

1. 假设两电极电势差为 ；
2. 求电势函数 ，通常满足

1. 由

求电流密度；

1. 由

求总电流；

1. 再用

求电导。

方法三：静电比拟法

若某一电阻问题与一个电容问题具有相同几何边界，并且介质参数可对应为

则有

因此如果已经知道对应电容 ，可以直接得到电导 。

5-7-3 典型例题

PROBLEM 两层非理想电介质串联

平行板电容器由两层非理想电介质串联构成。两层介质的介电常数分别为 ，电导率分别为 ，厚度分别为 。外加电压为 。

求两层介质中的电场强度、电能密度和功率损耗密度。

SOLUTION

由于电流线垂直于极板，且稳恒电流场满足法向电流连续，所以

又因为总电压为

联立可得

界面自由面电荷密度为

两层介质中的电能密度分别为

功率损耗密度分别为

NOTE

这个例题的核心不是 ，而是 。
稳恒电流分布先由

决定，所以电场大小由电导率分配；介电常数只影响电能密度和界面电荷。

PROBLEM 两层介质同轴线中的稳恒电流

同轴结构中，内导体电势为 ，外导体接地。两层导电介质分界半径为 ，内外导体半径分别为 ，电导率为 。

求各区域中的电流密度、电场强度以及界面自由电荷面密度。

SOLUTION

由于结构轴对称，电流沿径向流动。设单位长度上的总电流为 ，则半径为 的同轴圆柱面面积为

于是

两层介质中的电场为

电压满足

即

所以

因此

界面 上自由面电荷密度为

PROBLEM 同轴线漏电电阻

同轴线内外半径为 ，长度为 ，中间介质电导率为 。求内外导体之间的电阻。

SOLUTION

设从内导体流向外导体的总电流为 。由于电流径向分布，半径为 的圆柱面面积为

所以

由欧姆定律微分形式

可得

电压为

因此

PROBLEM 四分之一圆环导电片电阻

如图为四分之一圆环导电片，内外半径分别为 ，厚度为 ，电导率为 。求两端面之间沿 方向的电阻。

SOLUTION

取柱坐标系。设两端面电势分别为

由于电势只与角度 有关，满足

通解为

代入边界条件得

电场为

电流密度为

穿过端面 的电流为

所以

PROBLEM 一般圆环扇形导电介质

圆环扇形导电介质厚度为 ，内外半径分别为 ，圆心角为 ，电导率为 。求两径向电极之间沿 方向的电阻。

SOLUTION

设两电极之间电压为 ，边界条件为

由于电势只与 有关：

通解为

代入边界条件得

电场为

电流密度为

总电流为

所以电阻为

当 且 时，就退化为上一题的结果。

5-8 总结

稳恒电流场的核心关系可以总结为：

项目	公式	意义
电流定义		单位时间通过截面的电荷量
电流密度通量		电流是 的通量
欧姆定律微分形式		线性各向同性导电介质中的本构关系
电势关系		电场由电势负梯度给出
连续性方程		电荷守恒的微分形式
稳恒条件		稳恒电流场无散
均匀介质环路性质		均匀导电介质中 无旋
焦耳损耗密度		单位体积发热功率
总功率		整个导电区域的功率损耗
电导与电阻		电流场整体参数
静电比拟		同几何结构下 对应

IMPORTANT

稳恒电流场最常用的解题链条是：

若几何对称性强，也可以反过来先设 ，再由 和 求电压。